前几天听了一个讲座，TerezinhaNunes教授讲儿童数学学习。
她一上来就让大家High起来，教大家用葡萄牙语数数。
葡萄牙语？没有一个人会说。不过她教一遍1、2、3、4、5、6、7、8、9…...20、30之后，大家竟然都能自己数40、50、60……甚至99都会数！
每讲完一个知识点，教授就会说：我看到你们脸上有更多笑容，是不是更爱数学了？真是有爱！
她说：
数学有两种知识一种是productive的，基于逻辑推理。比如我教你们用葡萄牙语数1、2、3、4、5，然后教20、30，你们自己就能数40、50。
第?种是reproductive的，基于记忆。比如背乘法表，算乘法。
我们不用数字，就可以推测数量，比如，小丽比小明高，小明比小刚高，就可以推测出小丽比小刚高。
我们也不用知道具体数量，就用数字推测数量之间的关系。比如，小丽比小明高2厘米，小明比小刚高3厘米，就可以推测出小丽比小刚高5厘米。其实我们并不知道小丽和小刚到底有多高。
数字有两种意义一种是referential的，在数学题?，通常表现为能不能理解题意。在英国，学校很少教这方?的知识。
另一种是analytical的，在数学题?，通常表现为会不会计算。学校通常侧重教这个。
数学有两种技能与两种意义相对应的有两种技能。
一种是quantitativereasoning（数量推理），另一种是arithmeticskill（算术）。在学校，通常更重视后者。
但科学家认为，第一种技能比第二种更重要。比如，看这一题：
李雷和韩梅梅在操场跑步，速度相同。韩梅梅先跑，当李雷跑完3圈的时候，韩梅梅跑了9圈。请问：当李雷跑完15圈的时候，韩梅梅跑了多少圈？
要想正确地解这一题，关键在于理清楚数字之间的关系，确定是用什么运算方式。至于运算本身，是比较简单的。
研究者们进行了?系列的研究，包括纵向跟踪研究和?预研究，结果都支持上面的假设。——需要解释一下，研究者认为推理能力一般在5岁后比较好，研究对象都是5岁以上的孩子。
比如研究者发现，孩子可以不会加法，通过推理，也能做出题目。其中有一题是:
有3个小房子，每个小房子里住4个小兔子；所有小兔子要去一个大房子里吃饭，你要在大房子里准备多少盘子，可以让每个小兔子都有一个？
孩子们可以使用实物，在图上摆圆纸片，先分别在每个小房子里摆4个，然后把所有的纸片都移到大房子里。也可以画画，在小房子下面画圆盘子，然后画到大房子里。
5岁孩子的正确率超过60%；6岁7岁的孩子就%正确了。
研究者也做过实验，发现推理能力最能够预测3年后孩子在数学标准测试上的表现（46%），注意力与工作记忆其次（31%），算术最后（12%）。
推理能力这么重要，怎么提高呀？抓住四个核心知识点：
数字的加法组合；运算之间的反向关系；加法推理；乘法推理。
这四个点随着时间推移一步步发展。◆
附：相关资料
Nunes,T.,Bryant,P.Evans,D.().Developingquantitativereasoninginprimaryschool.TheNuffieldFoundation.May-August.
Nunes,T.,Bryant,P.,Evans,D.,Bell,D.,Barros,R.().Teachingchildrenhowtoincludetheinversionprincipleintheirreasoningaboutquantitativerelations.EducationalStudiesinMathematics,79,–.
Nunes,T.,Bryant,P.,Evans,D.,Bell,D.,Gardner,S.,Gardner,A.,Carraher,J.().TheContributionofLogicalReasoningtotheLearningofMathematicsinPrimarySchool.BritishJournalofDevelopmentalPsychology,25,-.
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